यदि P = begin{bmatrix} frac{sqrt{3}}{2} & fra | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.चूंकि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्र

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$\begin{bmatrix} 1 & 2015 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

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(C) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.चूंकि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,$P^T P = P P^T = I$.दिया गया है $Q = PAP^T$,हमें $P^T Q^{2015} P$ ज्ञात करना है।$Q^2 = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^T P)AP^T = PA(I)AP^T = PA^2 P^T$.गणितीय आगमन के सिद्धांत से,$Q^n = PA^n P^T$.इसलिए,$Q^{2015} = PA^{2015} P^T$.अब,$P^T Q^{2015} P = P^T (PA^{2015} P^T) P = (P^T P) A^{2015} (P^T P) = I A^{2015} I = A^{2015}$.दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$,हम पैटर्न देखते हैं:$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$.$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$.अतः,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \ 0 & 1 \end{bmatrix}$.इस प्रकार,$A^{2015} = \begin{bmatrix} 1 & 2015 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

यदि $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $Q = PAP^T$ है,तो $P^T Q^{2015} P$ ज्ञात कीजिए।

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